Weber-Fechner Gesetz aus der Psychophysik

Die Psychophysik beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen physikalischen Reizstärken (Anzahl ausgestrahlter Photonen einer Kerze, Schallamplitude eines Tons, Gewicht eines Objekts, Temperatur einer Flüssigkeit, etc.) und der subjektiv wahrgenommenen Reizstärke (Helligkeit, Lautstärke, wahrgenommene Schwere und Temperatur). Das Weber-Fechner Gesetz nimmt an, dass Menschen sich objektiv linear verändernde Reizstärken subjektiv logarithmisch wahrnehmen.¹ Die Modellgleichung des Weber-Fechner Gesetzes lautet:

\[E = k \times log(\frac{S}{R_0})\]

Es soll die subjektive Empfindung \(E\) der Ausprägung des Reizes \(S\) vorhergesagt werden. \(R_0\) ist die noch eben wahrnehmbare Ausprägung des physikalischen Reizes (d.h., Menschen besitzen eine Wahrnehmungsschwelle). Um die Rechnungen zu vereinfachen, setzen wir \(R_0 = 1\), die Formel vereinfacht sich zu \(E = k * log(S)\). Der Parameter \(k\) ist eine Konstante, die je nach Art des physikalischen Reizes unterschiedlich hoch ausfallen kann.

Im folgenden GUI ist das Weber-Fechner Gesetz programmiert. Spielen Sie einmal mit dem Parameter \(k\) und schauen Sie, wie sich die Funktion verändert.

Wir können das Weber-Fechner Gesetz als eine Funktion in R programmieren.

weber_fechner = function(k){
  
  E = k * log(S)
  
  return(E)
}

Wir werden im Folgenden ausgewählte Themen aus dem Buchkapitel 3 aus Farrell & Lewandowsky (2018) anhand des Weber-Fechner Gesetzes besprechen.

Freier Parameter

Der Paremter \(k\) im Weber-Fechner Gesetz ist reizspezifisch: Der Parameter muss anhand empirischer Daten geschätzt werden. In einem fiktionalen psychophysikalischem Experiment haben 10 Probanden die Empfindung von Lichtreizen in der Stärke 1 bis 20 in .1er Schritten angegeben.² Nehmen wir einmal an, wir hätten folgende Daten beobachtet.

Im Folgenden sind die Daten und die Funktion des Weber-Fechner Gesetzes von \(k\) = 1 bis 3.5 in .5er Schritten geplottet. Die tiefste Kurve ist \(k = 1\), die höchste Kurve ist \(k = 3.5\).

Die dritte Kurve von unten mit \(k = 2\) passt gut zu den Daten.³ Wie lässt sich jedoch der optimale Parameter rechnerisch finden?

Optimierung eines Diskrepanzmaßes

In der folgenden Datentabelle sind der physikalische Reiz, die beobachtete subjektive Empfindung des Reizes (und die Probandennummer) eingetragen.

kbl(daten) %>%
  kable_paper() %>%
  scroll_box(height = "400px")

S	E	Subj
1.0	0.6033222	1
1.1	0.7388545	1
1.2	1.1897616	1
1.3	0.4136054	1
1.4	0.4129590	1
1.5	0.6309364	1
1.6	0.4526826	1
1.7	1.8336890	1
1.8	1.5519458	1
1.9	1.3108873	1
2.0	1.4875796	1
2.1	0.8731627	1
2.2	2.0903935	1
2.3	1.4128083	1
2.4	1.7888555	1
2.5	2.9221485	1
2.6	2.5213472	1
2.7	1.7904148	1
2.8	2.8800500	1
2.9	2.3588090	1
3.0	2.4860137	1
3.1	2.7510088	1
3.2	2.1299178	1
3.3	1.5359703	1
3.4	2.7336253	1
3.5	2.9855625	1
3.6	2.8884396	1
3.7	1.1241368	1
3.8	2.9248296	1
3.9	2.1011571	1
4.0	2.1046730	1
4.1	2.2153891	1
4.2	2.2290338	1
4.3	2.6694908	1
4.4	2.8994279	1
4.5	3.8044490	1
4.6	2.5512555	1
4.7	3.4461992	1
4.8	3.1218311	1
4.9	3.6175739	1
5.0	3.4946288	1
5.1	2.2757285	1
5.2	3.0868241	1
5.3	2.5489697	1
5.4	3.8991473	1
5.5	2.8580394	1
5.6	3.0158128	1
5.7	2.9952299	1
5.8	3.5096159	1
5.9	3.1810208	1
6.0	3.2534017	1
6.1	4.0549334	1
6.2	3.6545023	1
6.3	3.8029005	1
6.4	3.8095636	1
6.5	3.5725001	1
6.6	3.4388160	1
6.7	3.7812228	1
6.8	3.5752878	1
6.9	3.6993051	1
7.0	3.7076117	1
7.1	3.6224392	1
7.2	4.1698313	1
7.3	4.3963239	1
7.4	4.0219670	1
7.5	3.4881952	1
7.6	3.4784538	1
7.7	4.5062836	1
7.8	4.2952919	1
7.9	4.2717911	1
8.0	3.6764105	1
8.1	5.3782540	1
8.2	4.8042833	1
8.3	3.8223576	1
8.4	4.0783562	1
8.5	3.8653155	1
8.6	4.1400898	1
8.7	4.8157541	1
8.8	4.1078559	1
8.9	4.2329692	1
9.0	3.4690010	1
9.1	3.8246216	1
9.2	3.9291782	1
9.3	4.5165891	1
9.4	4.3344799	1
9.5	3.6192062	1
9.6	3.4615527	1
9.7	4.0141738	1
9.8	4.2107370	1
9.9	3.8763480	1
10.0	4.8657838	1
10.1	4.1291804	1
10.2	4.0248974	1
10.3	5.4246333	1
10.4	4.6768058	1
10.5	4.1469336	1
10.6	5.0807118	1
10.7	3.3781419	1
10.8	4.9585133	1
10.9	4.7879653	1
11.0	4.5434702	1
11.1	4.9172026	1
11.2	4.3286756	1
11.3	5.6233642	1
11.4	5.0486832	1
11.5	4.5717541	1
11.6	4.1145295	1
11.7	5.7458781	1
11.8	4.4404174	1
11.9	4.8045372	1
12.0	4.9356195	1
12.1	4.6300304	1
12.2	4.1151370	1
12.3	4.8833833	1
12.4	4.9797968	1
12.5	5.6857369	1
12.6	3.9236434	1
12.7	5.4050486	1
12.8	4.6359664	1
12.9	4.3782974	1
13.0	5.9709691	1
13.1	4.4134149	1
13.2	5.2675226	1
13.3	5.0407863	1
13.4	4.8757347	1
13.5	6.2334584	1
13.6	5.0030496	1
13.7	5.7165280	1
13.8	5.2124900	1
13.9	4.9271802	1
14.0	6.3143651	1
14.1	5.8728670	1
14.2	5.7008073	1
14.3	5.2766375	1
14.4	5.4239270	1
14.5	5.6147737	1
14.6	4.9404697	1
14.7	5.4837335	1
14.8	4.8004871	1
14.9	5.1638424	1
15.0	5.2525068	1
15.1	4.6936516	1
15.2	4.7274688	1
15.3	4.8913077	1
15.4	4.7832506	1
15.5	5.2929772	1
15.6	5.3552774	1
15.7	4.7875411	1
15.8	5.7141895	1
15.9	5.0336303	1
16.0	4.7502736	1
16.1	5.7146797	1
16.2	6.2217272	1
16.3	5.4687449	1
16.4	5.6673368	1
16.5	5.8935115	1
16.6	5.8263062	1
16.7	5.2520577	1
16.8	5.8754054	1
16.9	5.8959324	1
17.0	5.2142721	1
17.1	5.0567148	1
17.2	6.2887150	1
17.3	5.4081258	1
17.4	5.7032219	1
17.5	5.2831940	1
17.6	5.6860093	1
17.7	4.3717175	1
17.8	5.4678433	1
17.9	6.6232982	1
18.0	5.4067025	1
18.1	5.6167890	1
18.2	5.6423939	1
18.3	5.4912999	1
18.4	5.0166628	1
18.5	6.3795838	1
18.6	5.9672262	1
18.7	6.5224196	1
18.8	5.9528649	1
18.9	5.4747996	1
19.0	6.4213306	1
19.1	4.9474984	1
19.2	5.8263979	1
19.3	6.0094851	1
19.4	6.1232262	1
19.5	5.7865777	1
19.6	5.9768945	1
19.7	5.4514407	1
19.8	6.3341857	1
19.9	5.4069390	1
20.0	6.0640144	1
1.0	0.3429396	2
1.1	1.1378629	2
1.2	0.3644842	2
1.3	0.6320945	2
1.4	0.0736187	2
1.5	0.1119356	2
1.6	0.5940496	2
1.7	0.7940306	2
1.8	1.5097859	2
1.9	1.2819182	2
2.0	0.9840654	2
2.1	3.0044527	2
2.2	1.8380622	2
2.3	2.8995220	2
2.4	1.2468940	2
2.5	1.9849301	2
2.6	1.6207477	2
2.7	1.7395114	2
2.8	2.0020706	2
2.9	1.5852833	2
3.0	2.5353552	2
3.1	1.7447073	2
3.2	2.7675639	2
3.3	2.5399389	2
3.4	2.1636124	2
3.5	2.0803468	2
3.6	2.8596848	2
3.7	2.8870262	2
3.8	2.9714554	2
3.9	3.0951585	2
4.0	2.3671424	2
4.1	2.3066063	2
4.2	2.0625315	2
4.3	2.9545719	2
4.4	3.8711412	2
4.5	3.9694853	2
4.6	3.2775950	2
4.7	2.9385956	2
4.8	2.4464790	2
4.9	2.9513841	2
5.0	3.0568671	2
5.1	2.5005261	2
5.2	3.9124981	2
5.3	3.3863655	2
5.4	3.5639605	2
5.5	3.7418070	2
5.6	3.2830029	2
5.7	2.4621513	2
5.8	3.2959971	2
5.9	3.0613880	2
6.0	4.2914746	2
6.1	3.8760356	2
6.2	4.1456287	2
6.3	3.8103319	2
6.4	4.6138394	2
6.5	4.7773898	2
6.6	4.0970336	2
6.7	3.3782658	2
6.8	3.1680464	2
6.9	4.5856284	2
7.0	3.5538484	2
7.1	3.7964912	2
7.2	4.1365322	2
7.3	3.9557635	2
7.4	3.8584818	2
7.5	4.0243842	2
7.6	4.2572018	2
7.7	4.5860431	2
7.8	4.1396626	2
7.9	4.2032090	2
8.0	3.9369492	2
8.1	4.3506440	2
8.2	3.6805909	2
8.3	3.6652236	2
8.4	3.5140349	2
8.5	4.0830362	2
8.6	4.5924847	2
8.7	4.3967683	2
8.8	3.6831238	2
8.9	4.6677956	2
9.0	4.5581164	2
9.1	4.7634766	2
9.2	4.1032416	2
9.3	3.9417445	2
9.4	3.6896845	2
9.5	4.3405592	2
9.6	4.2689783	2
9.7	4.5614118	2
9.8	4.8076958	2
9.9	5.3077408	2
10.0	4.1302650	2
10.1	4.8563211	2
10.2	4.5235796	2
10.3	4.9817039	2
10.4	4.4677299	2
10.5	5.0331347	2
10.6	4.6414200	2
10.7	4.2917490	2
10.8	5.6099950	2
10.9	5.3832537	2
11.0	4.7320499	2
11.1	3.6945274	2
11.2	5.2929503	2
11.3	4.6712018	2
11.4	5.2285588	2
11.5	3.6499539	2
11.6	4.6106112	2
11.7	5.3144889	2
11.8	5.6640638	2
11.9	5.1005581	2
12.0	4.8075859	2
12.1	4.9724698	2
12.2	4.9279196	2
12.3	6.1141777	2
12.4	5.5611866	2
12.5	4.5042170	2
12.6	4.7053621	2
12.7	5.4995516	2
12.8	4.6331067	2
12.9	4.9933121	2
13.0	5.5575021	2
13.1	5.8974121	2
13.2	4.9299677	2
13.3	5.2741104	2
13.4	3.9204991	2
13.5	4.9283953	2
13.6	5.3112974	2
13.7	5.5184350	2
13.8	5.0583754	2
13.9	4.9373834	2
14.0	5.0052771	2
14.1	5.1176728	2
14.2	5.9525449	2
14.3	5.1376107	2
14.4	5.3591442	2
14.5	5.8620971	2
14.6	4.9306805	2
14.7	5.6032300	2
14.8	5.0648070	2
14.9	4.7183314	2
15.0	5.6435984	2
15.1	4.8624936	2
15.2	4.7489785	2
15.3	6.0611721	2
15.4	4.5790087	2
15.5	4.9636345	2
15.6	6.4421694	2
15.7	5.1040416	2
15.8	5.3578696	2
15.9	4.8796378	2
16.0	5.8357797	2
16.1	5.0634657	2
16.2	5.7096581	2
16.3	5.3626467	2
16.4	5.5171522	2
16.5	5.7158964	2
16.6	5.3463364	2
16.7	5.6154729	2
16.8	5.2926981	2
16.9	6.3556330	2
17.0	5.7831200	2
17.1	6.4000139	2
17.2	5.7256574	2
17.3	5.4206328	2
17.4	5.7624293	2
17.5	5.6485777	2
17.6	5.3477127	2
17.7	6.1051357	2
17.8	5.7744646	2
17.9	5.7555233	2
18.0	5.3263915	2
18.1	5.6866305	2
18.2	6.7010008	2
18.3	5.7449616	2
18.4	5.8743991	2
18.5	5.1176068	2
18.6	5.8336874	2
18.7	5.7249838	2
18.8	6.2307880	2
18.9	5.6853038	2
19.0	5.3661997	2
19.1	6.6949442	2
19.2	6.5677560	2
19.3	6.1664839	2
19.4	5.9458301	2
19.5	5.4956904	2
19.6	6.1066974	2
19.7	5.7700807	2
19.8	4.9365713	2
19.9	5.7827120	2
20.0	5.6971730	2
1.0	1.0249737	3
1.1	0.0000000	3
1.2	0.6232411	3
1.3	1.0261079	3
1.4	0.9077738	3
1.5	1.8888357	3
1.6	0.6233763	3
1.7	0.7578973	3
1.8	1.1006768	3
1.9	0.6313430	3
2.0	0.6090458	3
2.1	1.1785666	3
2.2	2.5410667	3
2.3	1.6828458	3
2.4	1.9003656	3
2.5	1.5543208	3
2.6	1.8449374	3
2.7	1.3027939	3
2.8	3.0191540	3
2.9	2.5043737	3
3.0	2.3827805	3
3.1	2.5617948	3
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3.3	2.5397129	3
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1.3	0.4241607	10
1.4	1.2422165	10
1.5	1.2885146	10
1.6	0.4252473	10
1.7	1.6156305	10
1.8	1.6111299	10
1.9	1.3561403	10
2.0	1.0602752	10
2.1	1.9594398	10
2.2	1.8441609	10
2.3	1.9058241	10
2.4	0.9532264	10
2.5	1.2664120	10
2.6	1.7662495	10
2.7	1.7572006	10
2.8	2.2931171	10
2.9	1.6708725	10
3.0	2.0713153	10
3.1	1.5731976	10
3.2	3.0633903	10
3.3	2.4400280	10
3.4	2.2664301	10
3.5	3.0999150	10
3.6	3.2285894	10
3.7	2.9742530	10
3.8	3.1080105	10
3.9	2.2386358	10
4.0	2.7067788	10
4.1	1.6106018	10
4.2	3.2954564	10
4.3	2.6713322	10
4.4	2.0432379	10
4.5	2.4730489	10
4.6	3.8511892	10
4.7	1.8326230	10
4.8	3.2824467	10
4.9	2.6485146	10
5.0	3.1804510	10
5.1	3.2354346	10
5.2	3.2474023	10
5.3	2.6577936	10
5.4	3.4639857	10
5.5	4.2500369	10
5.6	3.7825431	10
5.7	4.2033736	10
5.8	3.6126966	10
5.9	2.8105370	10
6.0	4.1598222	10
6.1	4.3949792	10
6.2	3.6185796	10
6.3	3.3080248	10
6.4	3.0543309	10
6.5	4.3485590	10
6.6	4.4074896	10
6.7	3.2616218	10
6.8	4.0203881	10
6.9	3.8190128	10
7.0	3.4092902	10
7.1	3.7233727	10
7.2	4.1951204	10
7.3	3.3731331	10
7.4	4.8439357	10
7.5	4.2652272	10
7.6	4.5091689	10
7.7	3.8318370	10
7.8	4.1639182	10
7.9	4.9731673	10
8.0	4.2424694	10
8.1	4.0483675	10
8.2	4.4643366	10
8.3	4.0423237	10
8.4	4.9517708	10
8.5	3.3520006	10
8.6	4.1157802	10
8.7	3.4996229	10
8.8	4.7915170	10
8.9	4.2023699	10
9.0	3.6407977	10
9.1	3.5942422	10
9.2	5.1513768	10
9.3	4.9837401	10
9.4	4.5230741	10
9.5	4.9114656	10
9.6	4.5926218	10
9.7	4.3181463	10
9.8	4.1933943	10
9.9	5.0890814	10
10.0	4.8817159	10
10.1	4.3726606	10
10.2	4.4570944	10
10.3	3.9608123	10
10.4	4.8713712	10
10.5	4.9903498	10
10.6	4.6031050	10
10.7	4.5422266	10
10.8	5.9363991	10
10.9	3.9851586	10
11.0	4.9182651	10
11.1	4.6836364	10
11.2	3.7164393	10
11.3	5.1213488	10
11.4	4.4891527	10
11.5	4.3252334	10
11.6	4.6047569	10
11.7	4.3305943	10
11.8	4.6482369	10
11.9	4.7856763	10
12.0	4.3464388	10
12.1	4.2716717	10
12.2	5.5520018	10
12.3	5.3552309	10
12.4	5.3990533	10
12.5	4.6184803	10
12.6	5.0671919	10
12.7	5.1281036	10
12.8	4.9018121	10
12.9	5.2317811	10
13.0	5.2768839	10
13.1	5.6593555	10
13.2	5.2676375	10
13.3	4.4276979	10
13.4	5.0524852	10
13.5	5.0216764	10
13.6	6.1495469	10
13.7	4.8864461	10
13.8	5.4699849	10
13.9	5.2748574	10
14.0	4.9686056	10
14.1	4.5446874	10
14.2	5.4747998	10
14.3	5.6929804	10
14.4	4.5242593	10
14.5	5.3641591	10
14.6	5.7241734	10
14.7	4.8655047	10
14.8	4.8955074	10
14.9	4.5379627	10
15.0	5.1996864	10
15.1	6.1292997	10
15.2	6.4934299	10
15.3	5.8590035	10
15.4	5.8276315	10
15.5	5.9894347	10
15.6	5.5030708	10
15.7	5.3084604	10
15.8	5.2946085	10
15.9	5.4774170	10
16.0	5.3456378	10
16.1	5.9876768	10
16.2	6.0199198	10
16.3	4.8250467	10
16.4	5.6137495	10
16.5	5.1849830	10
16.6	6.0079062	10
16.7	5.6746793	10
16.8	5.7599610	10
16.9	6.9262148	10
17.0	5.5055646	10
17.1	5.9353159	10
17.2	5.8143740	10
17.3	5.1898432	10
17.4	5.2581109	10
17.5	5.5304875	10
17.6	5.9514978	10
17.7	5.1575358	10
17.8	6.3630690	10
17.9	6.0917576	10
18.0	4.8876218	10
18.1	6.0271548	10
18.2	6.2649077	10
18.3	6.0516809	10
18.4	5.3938550	10
18.5	5.4842975	10
18.6	5.9841027	10
18.7	5.7509744	10
18.8	6.1491440	10
18.9	6.6701724	10
19.0	5.0871128	10
19.1	5.8463856	10
19.2	5.4824359	10
19.3	6.5701345	10
19.4	5.5469568	10
19.5	6.1140561	10
19.6	6.5780682	10
19.7	6.3662566	10
19.8	5.7038868	10
19.9	5.9423046	10
20.0	5.3463263	10

Die Summe der mittleren quadrierten Abweichung zwischen der vorhergesagten und der tatsächlichen Empfindung können wir als Diskrepanzmaß definieren:

\[discr = \frac{\sum_{j=1}^J (E_j - \hat{E_j})^2}{J}\]

Wir versuchen nun den Parameter \(k\) zu finden, der das Diskrepanzmaß minimiert.

Programmierung in R

Im ersten Schritt programmieren wir eine Funktion, die als Input den Parameter \(k\) und als Output die Ausprägung des Diskrepanzmaßes in Abhängigkeit zu \(k\) ausgibt.

S = daten$S

discrepancy_function = function(k_optim = 1){
  
  E_pred = weber_fechner(k=k_optim)
  
  discrepancy = sum((daten$E - E_pred)^2)/length(E_pred)
  
  return(discrepancy)
}

Für \(k = 1\) ergibt sich folgende Diskrepanz.

discrepancy_function(k = 1)

[1] 5.354693

In einem Grid-Search kann nun die Diskrepanz für verschiedene Parameterwerte für \(k\) geprüft werden. Im Beispiel testen wir alle \(k\)-Werte zwischen 0 und 5 in .1er Schritten.

discr_grid = data.frame()

for (k_grid in seq(0,5,.1)){
  
  discr_grid = rbind(discr_grid,
              c(k_grid,
                 discrepancy_function(k_optim = k_grid)))
  
}

colnames(discr_grid) = c("k","discrep")

In der folgendne Tabelle sind die Diskrepanzwerte für die gesteten \(k\)-Parameterwerte angegeben,

kbl(discr_grid) %>%
  kable_paper() %>%
  scroll_box(height = "400px")

k	discrep
0.0	20.7240088
0.1	18.7247886
0.2	16.8282993
0.3	15.0345407
0.4	13.3435130
0.5	11.7552160
0.6	10.2696499
0.7	8.8868145
0.8	7.6067100
0.9	6.4293362
1.0	5.3546933
1.1	4.3827811
1.2	3.5135998
1.3	2.7471492
1.4	2.0834295
1.5	1.5224406
1.6	1.0641824
1.7	0.7086551
1.8	0.4558586
1.9	0.3057928
2.0	0.2584579
2.1	0.3138538
2.2	0.4719805
2.3	0.7328379
2.4	1.0964262
2.5	1.5627453
2.6	2.1317952
2.7	2.8035759
2.8	3.5780873
2.9	4.4553296
3.0	5.4353027
3.1	6.5180066
3.2	7.7034413
3.3	8.9916068
3.4	10.3825031
3.5	11.8761302
3.6	13.4724881
3.7	15.1715768
3.8	16.9733963
3.9	18.8779466
4.0	20.8852277
4.1	22.9952396
4.2	25.2079823
4.3	27.5234558
4.4	29.9416601
4.5	32.4625952
4.6	35.0862611
4.7	37.8126578
4.8	40.6417854
4.9	43.5736437
5.0	46.6082328

Wir können nun den “besten” Parameterwert für \(k\) identifizieren, indem wir nach dem Minimum der Diskepanz gegeben \(k\) schauen (im Beispiel liegt dieses bei 2).

plot(discr_grid$k,discr_grid$discrep,type = "l", lwd = 2, xlab = "k", ylab = "Discrepancy")

abline(v = 2, lty=3)

Da ein Grid-Search nicht unendlich fein bei der Wahl von \(k\) sein kann und ein Grid-Search bei mehr als einem Parameter auch recht zeitaufwendig wird, können wir kluge Optimierungsalgorithmen verwenden (wie sie zum Beipiel Simplex, das im Buchkapitel 3 in Farrell & Lewandowsky (2018) beschrieben ist), die das globale Minimum einer Funktion ermitteln. In R lässt sich dieses recht einfach programmieren, wenn wir die Diskrepanzfunktion haben.

library(stats4)

best_fit = mle(discrepancy_function, start=list(k_optim = .1))

best_fit


Call:
mle(minuslogl = discrepancy_function, start = list(k_optim = 0.1))

Coefficients:
 k_optim 
1.996077

Der Parameterwert \(k\), der die Diskrepanz zwischen Modellvorhersagen und Daten minimiert, liegt demnach bei ungefähr \(k = 2\).

Leitfragen für die Diskussion

Wie muss die Funktion angepasst werden, wenn wir annehmen, dass Probanden sich im Parameterwert \(k\) unterscheiden?
Welches Modell ist sparsamer: Ein Modell mit individuellem oder globalem \(k\)-Parameter?
Lässt sich ein Modell mit globalem versus individuellem \(k\)-Parameter vergleichen?

Farrell, S., & Lewandowsky, S. (2018). Computational modeling of cognition and behavior (2nd ed.). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9781316272503

Das klingt kompliziert, wenn man sich die Funktion des Gesetzes anschaut (siehe unten) wird aber klarer, welchen Verlauf die Kurve nimmt.↩︎
Die genauen methodischen Details eines solchen Experiments ignorieren wir einmal für diese Übung.↩︎
Das ist nicht überraschend, wenn man weiß, dass die Daten mit \(k = 2\) und einem Fehlerterm \(e \sim N(0,.5)\) generiert wurden.↩︎

Parameter von Modellfunktionen schätzen in R - Teil 1

Weber-Fechner Gesetz aus der Psychophysik

Freier Parameter

Optimierung eines Diskrepanzmaßes

Programmierung in R

Leitfragen für die Diskussion

References